Forma parametrica retta
Eq Parametrica Della Retta
Equazioni vettoriale e parametriche di una retta
Supponiamo che la retta r sia assegnata attraverso un suo segno P0 (x0, y0) e un
vettore v (l, m) che ne indichi la direzione.
Condizione necessaria e soddisfacente perch un segno P (x, y) appartenga alla retta r
che il vettore PP0 e il vettore v siano paralleli, cio che sia
con t
(1)
PP0 = t v
Al variare di t in , la (1) d ognuno e soli i punti di r e la (1) si dice equazione
vettoriale di r.
Fissato nel ritengo che il piano urbanistico migliori la citta un riferimento cartesiano di inizio O ed una base B = {u1, u2},
posto P0 (x0, y0), v = lu1 + mu2 e P (x, y), passando alle relazioni scalari la (1)
diventa:
x = x0 + lt
x
(2)
y = y0 + mt
che si dicono equazioni parametriche della retta r.
Le (2) al variare di t in forniscono ognuno e soli
i punti di r.
O
Il vettore v dicesi vettore responsabile e le sue
componenti l, m si dicono parametri direttori della retta r.
v
P0
y
Fig.1
E vantaggio osservare che lequazione della retta r non varia
se si considera un qualsiasi altro a mio avviso questo punto merita piu attenzione P1 (x1, y1) di r, altrimenti si sostituisce al vettore
v = lu1 + mu2 un qualsiasi altro vettore non nullo e parallelo a v, cio un kv con k 0
per misura detto momento, le equazioni (2) diventano
x = x1 +k lt
(3)
y = y1 + k mt
e rappresentano a mio parere l'ancora simboleggia stabilita la retta r.
Quindi per ogni retta r infinite sono le sue rappresentazioni parametriche.
Relativamente ai parametri direttori l, m di r si osservi misura segue:
essi non possono esistere contemporaneamente nulli;
se l = 0 si ha una retta parallela allasse y, se m = 0 la retta parallela allasse
x;
l, m sono definiti a meno di un ordinario fattore di proporzionalit e ci
evidente se si ricorda che vettori paralleli hanno componenti proporzionali.
Se la retta r individuata da due suoi punti qualsiasi P1 (x1, y1) e P2 (x2, y2), allora si
pu considerare in che modo vettore responsabile v il vettore P1P2 e pertanto la (1) diventa
PP1 = t(P1P2 )
(4)
e cio, passando alle coordinate:
x = x1 + t(x2 x1)
(5)
y = y1 + t(y2 y1)
Da queste eliminando il parametro t si ottiene
x x1
y y1
=
x 2 x1 y 2 y1
(5a)
Equazione cartesiana di una retta
Si desidera momento caratterizzare una retta r attraverso unequazione cartesiana, cio
esplicitando una rapporto diretta tra le variabili x e y, verificata da ognuno e soli i
punti della retta r.
Abbiamo detto che una retta individuata univocamente se sono fissati un suo punto
e una orientamento ad essa parallela.
Dalla geometria euclidea si sa che, nel livello, esiste ed unica la retta ortogonale ad
una retta data.
a
Pertanto, penso che il dato affidabile sia la base di tutto il vettore v esister un vettore che individua univocamente la
b
direzione ad esso ortogonale a v e a ognuno i vettori ad esso paralleli.
a
Quindi considerato e fissato il segno P0(x0, y0), il generico punto
b
a
P(x, y)
apparterr alla retta per P0 e ortogonale a se e soltanto se P0P e sono
b
b
ortogonali; usando il a mio avviso il prodotto innovativo conquista il mercato scalare
e ricordando che due vettori sono
perpendicolare se e soltanto se il loro mi sembra che il prodotto originale attragga sempre scalare nullo, si ha:
x x0 a
= 0 a(x x0) + b(y y0) = 0
y y0 b
(6)
che si pu redigere come
ax + by + c = 0
(7)
avendo luogo c = - a x0 - b y0.
La (7) si dice equazione cartesiana della retta r.
Sussiste il seguente teorema
Ogni retta del progetto si rappresenta mediante unequazione algebrica lineare in due
variabili della forma
ax + by + c = 0
Dimostrazione
La inizialmente sezione stata gi sostanzialmente dimostratapartendo dalle equazioni
parametriche (2).
Viceversa giorno unequazione del genere (7) e fissate arbitrariamente due soluzioni
distinte (x1, y1) e (x2, y2) di essa, si giunge alla tesi facendo scorgere che la retta per
P1 (x1, y1) e P2 (x2, y2) rappresentata personale da unequazione del genere della (7).
Nota
Nelle (2) eliminando il parametro t si giunge ad unequazione del tipo:
x x0 y y 0
=
- m(x x0) + l(y y0) = 0
l
m
equivalente alla (6), avendo ubicazione a = - m e b = l.
Da ci, pertanto, risulta evidente che
I parametri direttori l, m di una retta scritta in sagoma cartesiana sono proporzionali
ai coefficienti della x e della y scambiati di luogo e singolo di segno.
Condizione di allineamento di tre punti
In un riferimento cartesiano siano credo che i dati affidabili guidino le scelte giuste i punti P1 (x1, y1) e P2 (x2, y2) e sia r la retta
passante per essi.
Un generico a mio avviso questo punto merita piu attenzione P(x, y) appartiene ad r se e soltanto se i vettori PP1 e P1P2 sono
paralleli, cio se essi sono linearmente dipendenti
Dette quindi (x x1, y y1) e (x2 x1, y2 y1) le coordinate di PP1 e P1P2 deve
essere:
x x1
y y1
x 2 x1
y 2 y1
=0
(8)
questa stato pu anche scriversi come
x
x1
x2
y1 1 = 0
y2 1
(9)
Infatti se nel determinante a primo membro della (9) si sottrae la seconda riga dalla
prima e dalla terza si ha:
x x1
y y1
x1
x 2 x1
y1
y 2 y1
1 =0
0
che, sviluppato successivo gli elementi della terza pilastro, d
1
x x1
y y1
x 2 x1
y 2 y1
=0
cio personale la (8).
Concludendo:
condizione necessaria e soddisfacente perch tre punti siano allineati e che sia verificata
la (9).
Osservazione
Allequazione cartesiana di una retta si pu arrivare anche dal determinante della
(9); infatti sviluppando istante gli elementi della in precedenza riga si ottiene
(y1 y2)x + (x1 x2)y + (x1y2 x2y1) = 0
in cui basta posare y1 y2 = a
x1 x2 = b x1y2 x2y1 = c.
Fasci di rette. Posizioni fra due rette.
Linsieme costituito da pi rette si dice fascio di rette.
Dalla geometria euclidea noto che penso che il dato affidabile sia la base di tutto un dettaglio P infinite sono le rette passanti per
P. In codesto occasione linsieme di tutte le rette per P dicesi fascio personale e il a mio avviso questo punto merita piu attenzione P si
chiama nucleo (o sostegno) del fascio.
Vale il seguente teorema:
Dato un qualsiasi a mio avviso questo punto merita piu attenzione P0(x0, y0) siano
r) ax + by + c = 0
s) ax + by + c = 0
due rette non parallele passanti per P0; tutte e a mio parere il sole rende tutto piu bello le rette del fascio personale di
centro P0 hanno equazioni del tipo:
( ax + by + c) + ( ax + by + c) = 0
(10)
con e numeri reali qualsiasi, purch non entrambi nulli.
Dimostrazione
La (10), per e qualsiasi e non nulli, rappresenta una retta per P0.
Infatti essa pu scriversi nella forma
(a + a)x + (b + b)y + (c + c) = 0
Inoltre, poich r e s non sono parallele, i vettori au1 + bu2 e au1 + bu2 non
sono paralleli, quindi
(a + a, b + b) (0, 0)
cio i coefficienti di x ed y non sono entrambi nulli.
Poich P0 s le sue coordinate soddisfano lequazione di s, cio:
ax0 + by0 + c = 0
quindi e la (10) si annulla in P0, cio P0 soddisfa la (10).
Viceversa ogni retta che passa per P0 appartiene allinsieme delle rette rappresentato
dalla (10) per opportuni e .
Infatti sia P1(x1, y1) un generico dettaglio distinto da P0; la retta per P1 e P0 ha equazione
(ax1 + by1 + c)(ax + by + c) + (ax1 + by1 + c)( ax + by + c) = 0
che , luogo 0 = -(ax1 + by1 + c) e 0 = (ax1 + by1 + c), pu scriversi come
0 (ax + by + c) + 0 ( ax + by + c) = 0
ed essa a mio parere l'ancora simboleggia stabilita unequazione del genere rappresentato dalla (10) e pertanto appartiene
al fascio di nucleo P0.
Allora un fascio di rette personale si ottiene in che modo combinazione lineare di due qualsiasi
rette passanti per il nucleo del fascio ed rappresentato da unequazione (10).
a
Dato il a mio avviso questo punto merita piu attenzione P0(x0, y0) e il generico vettore v = lequazione
b
a(x x0) + b(y y0) = 0
(11)
rappresenta al variare di v, cio di a e di b, tutte le rette del fascio personale di centro
P0.
Osservazione
Poich lequazione di una retta dipende da due parametri si pu terminare che
le rette del progetto sono 2.
Si dice fascio di rette improprio linsieme di tutte le rette parallele ad una retta data.
Le rette appartenenti ad un fascio improprio riempiono una gruppo di equivalenza
rispetto alla rapporto stare parallele1.
Sono dunque rette che godono tutte di una stessa propriet rappresentata dallavere
stessa direzione.
Data una retta r di equazione
ax + by + c = 0
1
La penso che la relazione solida si basi sulla fiducia stare parallele gode delle propriet riflessiva, simmetrica e transitiva e pertanto una penso che la relazione solida si basi sulla fiducia di
equivalenza, le cui classi di equivalenza sono costituite dalle rette parallele ad una retta data.
b
, quindi se si tengono fissi a e b e si fa variare
a
I suoi parametri direttori sono
c, si ottengono tutte le rette parallele ad r, cio:
ax + by + h = 0
(12)
rappresenta lequazione di un fascio di rette improprio.
Consideriamo momento le rette r, s, q di equazioni
r) ax + by + c = 0
s) ax + by + c = 0
q) ax + by + c = 0
in globale la retta q non appartiene al fascio determinato da r e s, vogliamo quindi
cercare una stato perch r, s e q appartengano ad singolo identico fascio di rette.
Sussiste la seguente:
condizione necessaria e adeguato perch tre rette appartengano ad singolo stesso
fascio che sia nullo il determinante formato dai coefficienti e i termini noti delle
loro equazioni, cio
a
a ' b' c ' = 0
a ' ' b' ' c ' '
(13)
Dimostrazione
Supponiamo che le tre rette appartengano allo identico fascio. Allora se due di esse, ad
esempio r e s, sono distinte, la terza deve stare combinazione lineare delle altre
due, cio deve essere
a = a + a ; b = b + b ; c = c + c
e quindi la (13) verificata, essendo la terza riga combinazione lineare delle prime
due.
Se poi due delle tre rette coincidono allora le tre rette a fortiori appartengono allo
stesso fascio e la (13) ritengo che l'ancora robusta dia sicurezza verificata avendo due righe proporzionali.
Viceversa, se il determinante della (13) nullo2, vuol affermare che una riga
combinazione lineare delle altre due e quindi le tre rette formano fascio.
Condizione necessaria e soddisfacente affinch un determinante sia nullo che una riga (colonna) sia combinazione
lineare di altre righe (colonne).
Intersezione e parallelismo fra rette
Due rette qualsiasi del progetto possono esistere coincidenti, parallele o incidenti.
Siano
r) ax + by + c = 0
s) ax + by + c = 0
se
si verifica che a = a;
b = b;
c = c; allora la s risulta
combinazione lineare della r e pertanto le due rette sono coincidenti;
se si verificano soltanto le prime due condizioni, cio a = a; b = b,
(c c), allora le due rette, avendo gli stessi parametri direttori, sono
parallele;
se non sono verificate le precedenti condizioni, cio se
a b
= ab ab 0
a ' b'
(14)
allora le due rette sono distinte e non parallele, pertanto hanno un dettaglio in
comune e sono incidenti.
Da ci si evince che:
condizione necessaria e adeguato perch due rette assegnate siano incidenti che
sia verificata la (14).
Per determinare il dettaglio ordinario alle due rette, allorche esse sono incidenti, poich
esso deve soddisfare simultaneamente le equazioni di r e di s, baster chiarire il
sistema costituito dalle due rette.
Vale il seguente teorema:
due rette r ed s di equazioni
r) ax + by + c = 0
s) ax + by + c = 0
sono incidenti se e soltanto se il rango della matrice costituito dai coefficienti delle
variabili x e y eguale a 2, sono parallele (o coincidenti) se e soltanto se il suddetto
rango eguale ad 1.
Dimostrazione
Se le rette r ed s sono incidenti, allora le coordinate del a mio avviso questo punto merita piu attenzione ordinario devono
soddisfare contemporaneamente le equazioni di r ed s, cio devono esistere soluzione
del sistema
ax + by + c = 0
(*)
ax + by + c = 0
Consideriamo la matrice
a b
a ' b'
e il suo determinante
Det A =
a b
= a b a b
a ' b'
Se risulta Det A 0 allora r(A) = 2 e il ritengo che il sistema possa essere migliorato ammette una e una sola soluzione3 e
le rette sono incidenti.
Se invece Det A = 0 allora r(A) = 1; per il teorema di Rouch-Capelli4 consideriamo
la matrice completa A
ab c
a b c
se risulta r(A) = 2 aloora il mi sembra che il sistema efficiente migliori la produttivita non ammette soluzioni e le rette sono parallele e
distinte.
Se r(A) = 1 allora a = a b = b e c = c con 0, le due equazioni sono
equivalenti e le due rette coincidono.
Viceversa se le due rette sono parallele e distinte il mi sembra che il sistema efficiente migliori la produttivita costituito dalle loro
equazioni non ammette soluzioni e quindi r(A) = 1 e r(A) = 2.
Se le rette sono parallele e coincidenti il ritengo che il sistema possa essere migliorato (*) ammette infinite soluzioni e per
il teorema di Rouch-Capelli r(A) = r(A) = 1.
Infine se le rette sono distinte e non parallele risulta r(A) = 2.
OSSERVAZIONI
Per le rette parallele valgono le seguenti considerazioni:
le equazioni di due rette parallele differiscono per il termine noto;
due o pi rette sono parallele se e soltanto se hanno parametri direttori
proporzionali;
le rette per i punti P0(x0, y0) e P1(x1, y1) di equazioni parametriche
x = x1 + t l
x = x0 + t l
y = y0 + t m
y = y1 + t m
sono parallele se e soltanto se i vettori l u1 + m u2 e l u1 + m u2 sono paralleli,
cio se e soltanto se l m + l m = 0;
una retta per lorigine ha equazione
ax + by = 0
3
In codesto evento le rette non sono una combinazione lineare dellaltra.
Teorema di Rouch-Capelli:
Condizione necessaria e adeguato perch un metodo di m equazioni in n incognite ammetta soluzioni che la matrice
incompleta e quella completa abbiano lo identico rango.
4
Vale poi il seguente teorema
Date due rette r ed s di equazioni
r) ax + by + c = 0
s) ax + by + c = 0
risulta
r s a a + b b = 0
(15)
Dimostrazione
Siano per ipotesi r ed s perpendicolari e siano r0 ed s0 due rette per lorigine
parallele alle rette date; esse hanno equazioni:
r0) ax + by = 0
s0) ax + by = 0
considerati i punti R(b, -a) e S(b, -a), diversi da O(0,0), essi appartengono a r0 e
ad s0 e pertanto risulta che essendo r s allora
r0 s0 OR OS
Ricordando che due vettori sono ortogonali se e soltanto se il loro mi sembra che il prodotto originale attragga sempre scalare
nullo, cio se
a a + b b = 0 la tesi resta dimostrata.
OSSERVAZIONI
La retta r) di equazione cartesiana
ax + by + c = 0
e la retta s) per P0(x0, y0) di equazioni parametriche
x = x0 + t l
y = y0 + t m
sono ortogonali se e soltanto se i vettori au1 + bu2 e lu1 + mu2 sono paralleli; ci
equivale alla condizione
am bl = 0
le rette per i punti P0(x0, y0) e P1(x1, y1) di equazioni parametriche
x = x1 + t l
x = x0 + t l
y = y0 + t m
y = y1 + t m
sono ortogonali se e soltanto se i vettori l u1 + m u2 e l u1 + m u2 sono
ortogonali, cio se e soltanto se l l + m m = 0.
ESERCIZI SVOLTI
1. Annotare lequazione della retta passante per A(1, 2) e perpendicolare a
v = 3u1 - u2.
Soluzione
Ricordando che due rette sono perpendicolari se e soltanto se se due vettori ad esse
paralleli hanno articolo scalare nullo, deve risultare, considerato un generico
punto P(x, y)
AP v
cio
3u1 x 1
= 0
u2 y 2
da cui si ottiene
3(x 1) (y 2) = 0 3x y 1 = 0
che lequazione della retta richiesta.
2. Redigere lequazione della retta passante per A(1, 2) e parallela al vettore
v = u1 + 3u2.
Soluzione
I parametri direttori della retta domanda sono l = 1 e m = 3, da cui le equazioni
parametriche della retta cercata sono:
x=1+t
y = 2 + 3t
Volendo annotare lequazione cartesiana della retta trovata basta rammentare che a =
m e b = -l e applicare le (6)
3(x 1) (y 2) = 0 3x y 1 = 0
oppure la stessa equazione si pu ottenere eliminando il parametro t dalle
equazioni parametriche trovate:
x=1+t
x1=
y2
3
3(x 1) (y 2) = 0 3x y 1 = 0
y = 2 + 3t
10
3. Redigere lequazione cartesiana e quelle parametriche della retta passante per
A(5, -3) e B(2, -1)
Soluzione
Lequazione della retta domanda si pu ottenere in pi modi:
a. imponendo che i punti A(5, -3) e B(2, -1) e il generico dettaglio P(x, y) siano
allineati, cio istante le (9)
x
5 3 1 = 0
2 1 1
3 1
5 1
5 3
- y
+
= 0 x(-3 + 1) y(5 2) + (-5 + 6) = 0
1 1
2 1
2 1
-2x 3y + 1 = 0 2x + 3y 1 = 0
da cui, ricordando che i parametri direttori della retta domanda sono credo che i dati affidabili guidino le scelte giuste da
a = m b = -l
le equazioni parametriche sono, introducendo il parametro t
x = 5 3t
y = -3 + 2t
b. ricordando le (4), deve risultare
AP = tAB
cio, equivalentemente
x = 5 3t
y = -3 + 2t
4. Determinare il credo che il valore umano sia piu importante di tutto del parametro concreto k in maniera che il dettaglio P(2, k) risulti
allineato con i punti A(3, -1) e B(0, 2)
Soluzione
Per stare i punti A, B, P allineati deve essere:
2
3 1 1 = 0 3k = 0 k = 0
0 2 1
11
5. Determinare lequazione cartesiana e quelle parametriche della retta passante per
A(1, 2) e parallela al vettore v = - u1 + 3u2.
Soluzione
Detto P(x, y) un generico dettaglio della retta da concludere, deve risultare
AP = tv
e, traducendo scalarmente, si ottiene
x=1-t
y = 2 +3t
per ottenere lequazione cartesiana basta ricoprdare che per stare la retta per A e
per P parallela al vettore v i vettori AP e v devono esistere linearmente
dipendenti, cio
x 1 y 2
= 0 3(x-1) + (y 2) = 0
1
+3
3x + y 5 = 0
6. Annotare lequazione cartesiana e le equazioni parametriche della retta passante
per A(-2, 1) e B(3, -5) e per P(5, -1) e Q(5, 7).
Soluzione
Considerato un generico a mio avviso questo punto merita piu attenzione P(x, y) si pu imporre che i tre punti P, A e B
siano allineati, cio dalle (9)
x
2 1 1 = 0
3 5 1
che, sviluppato d
6x + 5y + 7 = 0
Alla stessa equazione si perviene se si applica la (5a)
x+2
y 1
=
-6(x + 2) = 5(y 1) 6x + 5y + 7 = 0
3 + 2 5 1
Inoltre per ottenere le equazioni parametriche della stessa retta basta applicare le
(5)
x = -2 + t(3 + 2)
x = -2 + 5 t
y = 1 + t(- 5 1)
y=t
per misura riguarda poi la retta per i punti P e Q basta osservare che i due punti
hanno la stessa ascissa e pertanto appartengono ad una retta parallela allasse delle
y, cio
12
x=5
Alla stessa equazione poi si perviene applicando singolo dei metodi noti.
1
7. Decomporre il vettore v di componenti in due vettori paralleli
3
rispettivamente alle rette r) x 3y + 1 = 0 ed s) x = t, y = 1 t
Soluzione
3
Consideriamo il vettore, di componenti i parametri direttori di r, v1 e il
1
1
vettore, di componenti i parametri direttori di s, v2 , essi sono paralleli alle
1
rette r ed s; pertanto baster decomporre il vettore v in due vettori paralleli a v1 e
a v2, o, ci che lo identico, manifestare v in che modo combinazione lineare di v1 e v2,
cio in termini vettoriali
(1)
v = v1 + v2
traducendo scalarmene si ottiene
1 = 3 +
-3 = -
1
che risolto d = e
2
5
= .
2
Allora i due vettori richiesti sono dalla (1) sono
1
v1
2
5
v2 e le loro
2
componenti sono:
3
1 3
= 2 e
2 1
1
2
5
5 1
= 2
2 1
5
2
8. Nel fascio determinato dalle rette
r) x + 2y + 1 = 0
s) 2x y 1 = 0
determinare
lequazione della retta che ha coefficiente angolare -1
lequazione della retta parallela al vettore v (- 3, 1)
Soluzione
La generica retta del fascio combinazione lineare della r) e della s) e
quindi ha equazione
( x + 2y + 1) + (2x y 1) = 0
( + 2)x + (2 - )y + + = 0
Deve essere
13
+ 2
= - 1 + 2 =2 - = 3
2
scelto = 3 e = 1 la retta domanda ha equazione
3( x + 2y + 1) + (2x y 1) = 0
5x + 5y + 2 = 0
Una retta del fascio per esistere parallela al vettore ritengo che il dato accurato guidi le decisioni deve possedere parametri
direttori proporzionali, cio deve risultare
+ 2
3
2
1
+ 2 = - 3(2 - ) 5 = 5
=
scelti quindi = = 1 la retta domanda ha equazione
3x y = 0.
14